推导单层带支撑框架水平位移

推导时需要基于的近似是：

不考虑柱，梁的轴向变形

柱不承受剪力

图 1 图示

记水平位移为$r$，水平荷载$F$，则抗侧刚度可以表示为： $$k=F/r$$

在上述近似下，斜撑内力$N$为：

$$N=\frac{F}{\cos\alpha}$$ 相应斜撑的变形$\Delta$为： $$\Delta=\frac{N}{EA}\frac{H}{\sin\alpha}=\frac{F}{ \cos\alpha EA}\frac{H}{\sin\alpha}$$ 记水平位移为$r$，则斜撑变形前与变形后的长度可分别表示为： $$H/\sin\alpha \\ \sqrt{H^2+(H/\tan\alpha-r)^2}$$ 则： $$\Delta=H/\sin\alpha- \sqrt{H^2+(H/\tan\alpha-r)^2}$$ 求出用$F$表示的$r$，即可以得到抗侧刚度，看起来其与荷载相关，是一个非线性项。

此时若对上式进行泰勒展开，并取到一阶导数项，可以得到： $$\Delta' = -\frac{-2(H/\tan\alpha-r)}{2\sqrt{H^2+(H/\tan\alpha-r)^2}}$$

$$\Delta = \frac{(H/\tan\alpha)}{\sqrt{H^2+(H/\tan\alpha)^2}}r=\frac{H/\tan\alpha}{H/\sin\alpha}r= r\cos\alpha$$

则： $$\frac{F}{\cos\alpha EA}\frac{H}{\sin\alpha}=r\cos\alpha$$ 相应得到抗侧刚度为： $$k=\frac{EA\sin\alpha\cos^2\alpha}{H}$$

其实求得的是一个在原点的切线刚度。

这里再采用虚功原理进行推导，以实际位移作为虚位移。

水平荷载所做的虚功为： $$W_{out}=Fr$$ 考虑到不柱和梁的轴向变形，相应杆件虚功即为斜撑所做的功。 $$W_{in}=\int {N\frac{N}{EA}}\text{d}l=\int {\frac{F}{\cos\alpha}\frac{F}{\cos\alpha EA} \text{d}l}=\frac{F}{\cos\alpha}\frac{F}{\cos\alpha EA}\frac{H}{\sin\alpha}$$ 相应可以得到和上述推导得到的$k$一样的结果，但相较而言少了一个泰勒展开的过程。

2024年1月19日 星期五 天气阴有雨