对于剪心的理解

剪力作用下是否会发生扭转，剪心又到底是怎么回事。本文讲讲这个问题。

​ 换个思路，讨论下压杆是否会弯曲的问题，即压杆截面应力分布问题。理论上应该按圣维南原理，在原理荷载作用处就可以按照平截面假定进行计算了。那么以过中和轴处某点作为坐标原点建立直角坐标系，截面上满足： $$N= \int{f}\text{d}A\\ M_x=\int{fy}\text{d}A\\ M_y=-\int{fx}\text{d}A$$ 假定截面上不产生弯曲变形，则应有$f$为常数，相应有 $$N= fA\\ M_x=f\int{y}\text{d}A=Ne_y\\ M_y=-f\int{x}\text{d}A=-Ne_x$$ 这里$e_y$和$e_x$分别为形心在上述坐标系中的坐标。

记外荷载作用点在该坐标系上坐标为： $$(\Delta x,\Delta y)$$ 截面内力相对于外荷载作用点两方向弯矩均为零，则有： $$-N\Delta y+M_x=0\\ -N(-\Delta x)+M_y=0$$ 即有： $$\Delta x=e_x\\ \Delta y=e_y$$ 即推导得到：

截面不产生弯曲变形，外荷载作用在形心处。

根据逆否定理，外荷载不在形心处，截面将产生弯曲变形。

​ 所以所谓轴力作用，这里的轴就是表示外力垂直表面且通过形心。

​ 同样的，对于扭转，边界处平行截面外荷载作用下，假如截面上不产生扭转变形，则： $$Q_x= \int{f_x}\text{d}A\\ Q_y= \int{f_y}\text{d}A\\ T=\int{(-f_xy+f_yx)}\text{d}A$$

类似于上述压力作用时的问题，不产生扭转变形时，可推导得到： $$T=Q_x\frac{I_xI_{wcy}-I_{wcx}I_{xy}}{I_xI_y-I_{xy}^2}+Q_y\frac{I_yI_{wcx}-I_{wcy}I_{xy}}{I_xI_y-I_{xy}^2}$$ 具体推导可见童根树《钢结构的平面外稳定》1.2节。

截面上合力相对于外荷载作用点的扭矩应为零，即满足： $$T-Q_x\Delta y-Q+y(-\Delta x)=0$$

即有： $$-Q_x\Delta y+Q_y\Delta x=Q_x\frac{I_xI_{wcy}-I_{wcx}I_{xy}}{I_xI_y-I_{xy}^2}+Q_y\frac{I_yI_{wcx}-I_{wcy}I_{xy}}{I_xI_y-I_{xy}^2}$$ 上述为一直线公式，且必过下点： $$x_0=\frac{I_xI_{wcy}-I_{wcx}I_{xy}}{I_xI_y-I_{xy}^2}\\ y_0-=\frac{I_yI_{wcx}-I_{wcy}I_{xy}}{I_xI_y-I_{xy}^2}$$ 若记此点为剪心，则推导得到：

截面不产生扭转变形，外荷载沿某角度通过剪心处。

继而根据逆否定理，外荷载不过剪心处，截面将产生扭转变形。

更新于2021年12月22日 星期三 天气阴转晴