稳定与屈曲

​ 一直觉得这些写稳定的书籍有一个事情没有讲清楚，就是什么是稳定。一上来就讲几种失稳（稳定分叉、不稳定分叉等）会让人觉得有些不知所措。

​ 首先稳定是相对于平衡状态而言的。而平衡可能有两种情形，一种是静止平衡，另一种是运动平衡（周期性运动）。导线舞动在钢结构里一般的就不讨论运动平衡了。相应的稳定即在原始静止平衡位置施加一个小扰动依旧能恢复到原来的平衡位置。

以上述一个轴压杆件为例，即使荷载$N$再大，就平衡条件而言，是一定能满足的。但是会遇到两个问题：一是强度，二是稳定。所以从这个角度讲强度和稳定在这里是两个性质不同的问题，需要分别考虑。运动平衡通常是在荷载、阻尼均与位移相关时发生。对于一般钢结构而言仅考虑静止平衡就可以了。

对于稳定而言，需要考虑的就是什么时候会失去稳定。

​ 荷载$N$为零可作为一个极端状态，施加小扰度相当于给与一个初始位移后的有阻尼自由振动即： $$m\ddot{y}+c\dot{y}+EIy^{\text{IV}}=0$$ 此时假定最后出现了静止平衡状态，则应有： $$\ddot{y}=0\\ \dot{y}=0$$ 即: $$EIy^{\text{IV}}=0$$ 只有$y=0$满足。有阻尼情形下振动衰减，故原始平衡状态一定是稳定的。

而在$N$不为零时，相应平衡方程为： $$m\ddot{y}+c\dot{y}+EIy^{\text{IV}}+Ny^{''}=0$$ 同样的，假定最后出现了静止平衡状态，那么： $$EIy^{\text{IV}}+Ny^{''}=0$$ 此为齐次微分方程。根据边界条件其解不定（具体解可参考《钢结构稳定理论与设计》2.3节）。此时问题就在于基于哪一种平衡位置的振动会衰减至零。

​ 不过需要注意的是，并没有说对于同一荷载$N$而言就只有一种稳定平衡状态，或一定存在稳定平衡状态。

​ 如果对应于每一种平衡状态都关于轴力$N$绘图，对于每一种构件、结构就会出现一些对应的特定图形。

如果继而以某种加载路径，那么就有可能出现由稳定到失稳的转变。如在结构稳定中一般是以构件扰度作为平衡状态指标来位置，相应出现了几类图形，并给之以命名。

• 稳定分叉失稳：可能有两种稳定平衡、一种
• 不稳定分叉失稳：可能有三种稳定平衡、没有
• 极值点失稳：两种，一种，没有
• 阶跃失稳：一种

然后再讲屈曲。理论上屈曲这一词使用范围是很局限的。就是指无缺陷笔直轴压压杆再达到某一荷载值时突然发生弯曲的状态。对于稳定分叉而言，理论上是不可能出现屈曲的，因为弯曲也是连续发生变大的。而对于不稳定分叉失稳而言，是可以出现屈曲的。

对于稳定分叉失稳而言，理论上是可以一直加载的。而对于不稳定分叉或极值点失稳而言，加载都是有限值的。

更新于2020年4月29日 星期三 天气晴