振型分解法

振型分解法或模态叠加法都可以叫，没有什么区别。实质上就是将位移表达成广义位移的叠加形式，当然前提是线性结构。本文主要讲其方法如何推导及等效静力荷载如何得到。

参考资料

《结构动力学》R.克拉夫,J.彭津 王光远等译校

基本符号

$\boldsymbol{U}$——位移向量

$\boldsymbol{\Phi}$——振型矩阵，这里： $$\boldsymbol{\Phi}=\begin{bmatrix} \boldsymbol{\phi_1}&\boldsymbol{\phi_2}&\dots&\boldsymbol{\phi_n} \end{bmatrix}$$ $\boldsymbol{M}$、$\boldsymbol{K}$、$\boldsymbol{C}$——质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵

$\boldsymbol{F}$——荷载向量

$a$——地震加速度

$\xi_i$——模态阻尼比

$\boldsymbol{y}$——广义位移向量

$\boldsymbol{\bar M}$、$\boldsymbol{\bar K}$——广义质量矩阵、广义刚度矩阵

推导

​ 对于基本的n个自由度体系，有以下运动方程： $$\boldsymbol{M\ddot{U}}+\boldsymbol{C\dot{U}}+\boldsymbol{KU}=\boldsymbol{F}$$ 考虑自由振动情形： $$\boldsymbol{M\ddot{U}}+\boldsymbol{KU}=\boldsymbol{0}$$ 相应有： $$-\boldsymbol{M\phi_i}\omega_i^2+\boldsymbol{K\phi_i}=\boldsymbol{0}$$ 即得式（1）： $$\boldsymbol{K\phi_i}=\boldsymbol{M\phi_i}\omega_i^2\quad \text{（1）}$$ 此式对于后续将有关键作用。与此同时，可以证明：

（1）正交性 $$\left\{ \begin{array}{}\phi_i^TM\phi_j=0\quad i\neq j\\\phi_i^TM\phi_j=\bar{m_i}\quad i=j\end{array} \\ \right.\\ \left\{ \begin{array}{}\phi_i^TK\phi_j=0\quad i\neq j\\\phi_i^TK\phi_j=\bar{k_i}\quad i=j\end{array} \\ \right.$$ （2）模态频率与广义矩阵关系

$$\omega_i^2=\bar{k_i}/\bar{m_i}$$ （3）单自由度体系简谐荷载稳态解 $$y=\frac{F}{m(\omega^2-\theta^2)}\sin\theta t$$

​ 对于多自由度体系，其位移可表示成为： $$\boldsymbol{U}=\sum^n_{i=1}{\boldsymbol{\phi_i}y_i}=\boldsymbol{\Phi y}$$

相应的运动方程转化为： $$\boldsymbol{M\Phi\ddot{y}}+\boldsymbol{C\Phi\dot{y}}+\boldsymbol{K\Phi y}=\boldsymbol{F}$$ 上述方程两边乘以$\boldsymbol{\Phi}^\text{T}$，得到： $$\boldsymbol{\bar{M}\ddot{y}}+\boldsymbol{\Phi}^\text{T}\boldsymbol{C\Phi\dot{y}}+\boldsymbol{\bar Ky}=\boldsymbol{\Phi^\text{T}F}$$ 如果阻尼矩阵可以表示成为瑞利阻尼形式，即： $$\boldsymbol{C}=\alpha\boldsymbol{M}+\beta\boldsymbol{K}$$ 则上述方程进一步简化为： $$\boldsymbol{\bar{M}\ddot{y}}+(\alpha\boldsymbol{\bar{M}}+\beta\boldsymbol{\bar{K}} )\boldsymbol{\dot{y}}+\boldsymbol{\bar Ky}=\boldsymbol{\Phi^\text{T}F}$$ 利用正交性可得广义质量矩阵和广义刚度矩阵均为对角阵，故得到n个单自由度体系方程： $$\bar{m_i}\ddot{y_i}+(\alpha\bar{m_i}+\beta\bar{k_i} )\dot{y_i}+\bar k_iy_i=\boldsymbol{\phi_i^\text{T}F}$$ 两端除以$\bar{m_i}$可以转化为单自由度体系的标准形式，式（2）： $$\ddot{y_i}+2\xi_i\omega_i\dot{y_i}+\omega_i^2y_i=\boldsymbol{\phi_i^\text{T}F}/\bar{m_i}\quad \text{（2）}$$ 这里基于上式可以求得各阶广义位移。

如果振型向量关于质量矩阵归一化，即： $$\phi_i^TM\phi_j=1$$ 则式（2）变为： $$\ddot{y_i}+2\xi_i\omega_i\dot{y_i}+\omega_i^2y_i=\boldsymbol{\phi_i^\text{T}F}$$ 相应稳态振动解为： $$y=\frac{\phi_i^\text{T}F}{(\omega^2-\theta^2)}\sin\theta t \text{（3）}$$ 等效静力荷载即产生相同位移时作用的静力荷载值： $$\boldsymbol{F}=\boldsymbol{KU}=\boldsymbol{K}\sum^n_{i=1}{\boldsymbol{\phi_i}y_i}=\sum^n_{i=1}{\boldsymbol{K}}{\boldsymbol{\phi_i}y_i}$$ 代入式（1）可得式（4）： $$\boldsymbol{F}=\sum^N_{i=1}\omega_i^2{\boldsymbol{M}}{\boldsymbol{\phi_i}y_i}\quad \text{（4）}$$ 也就是说在基于单自由度体系求得各阶广义位移后，可以相应得到等效静力荷载。与此同时，等效静力荷载为各阶等效静力荷载的线性叠加，也是一个随时间变化量。 注意到：上述推导过程中质量矩阵和刚度矩阵并不需要是对角阵。

​ 应用1：假定作用一个简谐荷载，那么为什么一般频率较低时相应激发起的位移较大，而即使与相应自振频率差值差不多的情况下。对于这个问题，通过计算可以发现，主要是因为式（3）中分母频率项的原因。譬如：某两阶自振频率是1.05Hz和100.05Hz，相应激励荷载频率分别为1Hz和100Hz，那么前者主要激发的是1.05Hz的模态，此时: $$1/{(\omega^2-\theta^2)}=9.756$$ 后者主要激发的是100.05Hz的模态，此时： $$1/{(\omega^2-\theta^2)}=0.100$$ 在$\phi_i$差别不大的情况下，相应位移基本是有97.56倍的差别。由此可以看出高频激励相对位移较小（当然这是在频率差值一定的情况下）。

2022年6月7日 星期二 天气晴